本文介绍了基于C语言的GPS卫星位置解算原理与程序设计。针对每个原理、公式、代码设计进行了详细讲解，希望能够给测绘学子们带来帮助。
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李征航 黄劲松：GPS测量与数据处理（第三版）
目录
基础原理
1）卫星位置解算流程
2）卫星有关参数
3）卫星位置计算过程
程序设计
数据预处理
1）GPS时转换(TimetoGPSsec)
2）选择最佳历元(select_epoch)
代码与解析
BDS卫星位置
如流程图所示，在程序设计中对于一颗卫星的位置解算，是要经过多次迭代，直到信号传播时间收敛。
2）卫星有关参数在正式开始程序设计之前，我们还需要了解一下卫星的相关参数及其含义。
平近点角M
卫星平均运动角速度为，根据开普勒第三定律得：
所以卫星平均运动角速度n：
因此，平近点角M定义为：
t为信号发射时刻，t0为卫星过近地点时刻。
偏近点角E
如下图所示：以卫星椭圆轨道的焦点为原点，以指向近地点的方向为X轴，Y轴平行于椭圆短半轴，建立轨道平面坐标系。以卫星椭圆中心为圆心，以卫星轨道的长半轴a为半径作一个辅助圆。
过卫星S作X轴的垂线，其延长线与辅助圆交于S‘，圆心到S’的向径与X轴的夹角定义为偏近点角E。
平近点角与偏近点角的关系可用开普勒方程表示：
在计算偏近点角E时，E0可用平近点角M做初始值，然后进行迭代计算，因为E非常小，因此迭代几次即可收敛，可将收敛标准设为1.0e-5。
真近点角V
由上图所示，真近点角V与偏近点角E存在着一定关系，真近点角V可又下述式子得出：
其中，e为第一偏心率。
如果已知真近点角，那么卫星在轨道坐标系中的位置向量可以表示为：
卫星的运动速度
由上式得得卫星的运动速度为：
由开普勒方程可得：
因此，可以推导出卫星的运动方程：
卫星钟差
卫星钟差方程为：
a0，a1，a2为N文件中的钟频，钟偏和钟漂。（广播星历中的卫星钟差误差为10ns，等效距离为3m）
其中为长半轴a的平方根，e为轨道偏心率，二者都由广播星历播发；GM为引力常数，大小为：398600500000000；E为卫星的偏近点角。(因为偏近点角E很小，该误差在伪距中可忽略不计)
（1）求平均角速度n：
为广播星历(N文件)中卫星平均运动速率与计算值之差（代码中用deltan表示）。
（2）求规划时刻
t为信号发射时刻，为N文件中的参考历元（代码中用TOE表示）。
信号发射时刻为：O文件观测时刻-信号传播时间。
近似信号传播时间=伪距观测值/光速-接收机钟差+卫星钟差+电离层改正+对流层改正
上式中，用参考时刻toe时刻代替了卫星过近地点t0时刻。
这是因为：广播星历2h更新一次，间给参考时刻设在中央时刻时，外推间隔小于1h。而卫星的运行周期为12h，采取卫星过近地点时刻t0，外推间隔大可能达到6h。用toe代替t0，模型简单，并且可以保证精度。
计算t和toe时，需要保证二者之差在两小时内，计算才能生效。因此，在计算卫星位置前，需要根据O文件中的观测选择N文件中的最佳观测历元（代码见后文）。
（3）求平近角
为N文件中的参考时间的平近点角。
（4）求偏近点角E
e为N文件中轨道偏心率；偏近点角需要迭代计算，将平近角M作为E的初始值带入，因为E很小，一般迭代几次即可收敛，收敛条件为
1.0e-12为科学计数法，表示10的负12次方。
（5）求真近点角
（6）求升交角距u
为N文件中的近地点角距（代码中用omega表示）。
（7）摄动改正
升交角距改正项：
轨道向径改正项：
轨道向径改正项：
分别为N文件中提供的6个摄动改正参数。（在代码中分别用Epsilon_u、Epsilon_r、Epsilon_i表示）
（8）计算改正后的升交角距、轨道向径、轨道向径
（9）卫星在升交点轨道直角坐标系的坐标
（10）计算升交点经度L
为N文件中GPS周开始时刻的升交点经度，为N文件中升交点赤经变化率，为N文件中参考历元时刻。
（11） 计算卫星在地固坐标系中的空间直角坐标系
（12）计算Z轴旋转变换，得到的新坐标
为地球自转角速度，为信号传播时间。
（13）重新计算卫地距
为接收机坐标，可将O文件中接收机概略坐标当作接收机坐标初始值，减少迭代次数。
（14）重新计算信号传播时间
R为新的卫地距，Cv表示光速。
（15）重复步骤1~14，直到信号传播时间收敛，收敛条件为
单颗卫星位置解算流程：
GPS时，也称GPS time，GPST，由GPS星载原子钟和地面监控站原子钟组成的一种原子时基准，其起点为1980年1月6日0时00分00秒。
观测值文件中的参考时刻是以年月日进行记录的，不利于计算，需转换成周内秒的形式。
程序设计主要思想：
TimetoGPSsec代码如下：
double TimetoGPSsec(int year, int month, int day, int hour, int min, double sec)
{
int DayofYear = 0, DayofMonth = 0, SecofWeek = 0;
int i = 0;
for (i = 1980; i< year; i++)
{
//判断闰年
if ((i % 4 == 0 && i % 100 != 0) || i % 400 == 0)
DayofYear += 366;
else
DayofYear += 365;
}
for (i = 1; i< month; i++)
{
//判断大小月
if (i == 1 || i == 3 || i == 5 || i == 7 || i == 8 || i == 10 || i == 12)
DayofMonth += 31;
else if (i == 4 || i == 6 || i == 9 || i == 11)
DayofMonth += 30;
else
{
if ((year % 4 == 0 && year % 100 != 0) || year % 400 == 0)
DayofMonth += 29;
else
DayofMonth += 28;
}
}
int Day = DayofYear + DayofMonth + day - 6;//计算到1980年1月6号（星期日）有多少天
SecofWeek = (double)(Day % 7) * 24 * 60 * 60 + (double)hour * 3600 + (double)min * 60 + sec;
return SecofWeek;
}其中：
根据卫星的PRN号以及观测时间，选择与N文件中时间间隔最小的数据块进行解算。
主要思想：
select_epoch代码如下：
//挑选合适的星历
extern int select_epoch(double SecofWeek, int sPRN, pnav_body nav_b, int n_n)
{
int n_epoch = 0;
double min=10000;//假设最小值是1万秒
double Min;
int i;
for (i = 0; i< n_n / 8; i++)
{
if (sPRN == nav_b[i].sPRN)
{
Min = fabs(SecofWeek - nav_b[i].TOE);
if (Min<= min)
{
n_epoch = i;
min = Min;
}
}
}
return n_epoch;
}其中：
在程序设计时，将单次解算卫星位置的过程封装成一个函数，然后放入while循环中迭代计算，当信号传播时间收敛后，输出卫星位置结果。
定义一个结构体，用来当作函数的传参
//卫星位置传参
typedef struct Pos_t
{
double X;
double Y;
double Z;
double deltat;//改正前的接收机钟差
double delta_t;//改正后的接收机钟差
}Pos_t;#define C_V 299792458//光速（m）
#define GM 398600500000000//地心引力常数
#define math_e 2.718281828459 //e值
#define PI 3.141592653589793
#define Earth_e 7.2921151467e-5 //地球自转角速度
#define C1 4
//时间转换
double GPSsec = TimetoGPSsec(obs_e[i].y, obs_e[i].m, obs_e[i].d, obs_e[i].h, obs_e[i].min, obs_e[i].sec);
//根据O文件历元参考时间选择合适的N文件数据
int n_epoch = select_epoch(GPSsec, obs_e[i].sPRN[j], nav_b, n_n);
//观测时刻 - 参考时刻
double detat_toc = GPSsec - nav_b[n_epoch].TOE;
//计算近似的信号传播时间,接收机钟差已初始化为0(伪距/光速-接收机钟差+卫星钟差)
double delta_t = (obs_b[i].obs[j][C1] / C_V) - sta[i].delta_TR + nav_b[n_epoch].sa0 + nav_b[n_epoch].sa1 * detat_toc + nav_b[n_epoch].sa2 * pow(detat_toc, 2);
//计算卫星位置
double deltat = 0.0;//判断收敛
while (fabs(delta_t - deltat) >0.0001)
{
//临时结构体变量tmp，用来传参
Pos_t tmp = { 0 };
//计算卫星位置函数
tmp = sat_pos(nav_b[n_epoch].deltan, nav_b[n_epoch].sqrtA, nav_b[n_epoch].TOE,
nav_b[n_epoch].M0, nav_b[n_epoch].e, nav_b[n_epoch].omega, nav_b[n_epoch].OMEGA,
nav_b[n_epoch].deltaomega, nav_b[n_epoch].Cuc, nav_b[n_epoch].Crc, nav_b[n_epoch].Cic,
nav_b[n_epoch].Cus, nav_b[n_epoch].Crs, nav_b[n_epoch].Cis, nav_b[n_epoch].i0, nav_b[n_epoch].IDOT,
delta_t, deltat, sta[i].X, sta[i].Y, sta[i].Z, GPSsec);
//传参，更新信号传播时间
deltat = tmp.deltat;
delta_t = tmp.delta_t;
sat[i][j].X = tmp.X;
sat[i][j].Y = tmp.Y;
sat[i][j].Z = tmp.Z;
}其中：
计算卫星位置函数
//计算卫星位置
Pos_t sat_pos( double deltan,double sqrtA,double TOE,double M0,double e,
double omega,double OMEGA,double deltaomega,double Cuc,double Crc, double Cic,
double Cus,double Crs,double Cis,double i0,double IDOT,double delta_t, double deltat, double X_R,
double Y_R, double Z_R, double GPSsec)
{
Pos_t pos_t={0};
//计算信号发射时刻=O文件观测时刻-信号传播时间
double T_S = GPSsec - delta_t;
//计算卫星的平均角速度n
double n0 = sqrt(GM) / pow(sqrtA, 3);
double n = n0 + deltan;
//计算归划时间tk
double tk = T_S - TOE;
if (tk >32400)tk -= 604800;//规划时间改正
else if (tk< -32400)tk += 604800;
//计算卫星发射时卫星的平近角M
double M = M0 + n * tk;
//迭代计算偏近点角
double E = M, E0;
do
{
E0 = E;
E = M + e * sin(E);
} while (fabs(E - E0) >1.0e-5);
//计算真近点角V
double cosv = (cos(E) - e) / (1 - e * cos(E));//cosV
double sinv = sqrt(1 - pow(e, 2)) * sin(E) / (1 - e * cos(E));//sinV
double Vk = atan2(sinv, cosv);//注意atan与atan2的不同
//计算升交角距u
double u = Vk + omega;
//计算摄动改正项
double Epsilon_u = Cuc * cos(2 * u) + Cus * sin(2 * u);
double Epsilon_r = Crc * cos(2 * u) + Crs * sin(2 * u);
double Epsilon_i = Cic * cos(2 * u) + Cis * sin(2 * u);
//计算改正后的升交角距、轨道向径、轨道倾角
double uk = u + Epsilon_u;
double rk = pow(sqrtA, 2) * (1 - e * cos(E)) + Epsilon_r;
double ik = i0 + Epsilon_i + IDOT * tk;
//计算卫星在升交点轨道直角坐标系的坐标
double xk = rk * cos(uk);
double yk = rk * sin(uk);
//计算升交点经度
double L = OMEGA + (deltaomega - Earth_e) * tk - Earth_e * TOE;
//计算卫星在地固系下的直角坐标
double X = xk * cos(L) - yk * cos(ik) * sin(L);
double Y = xk * sin(L) + yk * cos(ik) * cos(L);
double Z = yk * sin(ik);
//通过 Z 轴的旋转变换，对该坐标进行地球自转改正，得到新坐标
pos_t.X = cos(Earth_e * delta_t) * X + sin(Earth_e * delta_t) * Y;
pos_t.Y = -sin(Earth_e * delta_t) * X + cos(Earth_e * delta_t) * Y;
pos_t.Z = Z;
//重新计算信号传播的时间
double R = sqrt(pow(X - X_R, 2) + pow(Y - Y_R, 2) + pow(Z - Z_R, 2));
pos_t.deltat = delta_t;
pos_t.delta_t = R / C_V;
return pos_t;
}（上述代码为了更加清晰的体现哪个是新变量、哪个是旧变量，将开辟变量的工作放在函数中间；读者自己写代码时，建议将开辟变量的工作统一放到函数的起始位置，增加运行效率；有些语言不支持程序运行后再开辟变量，例如：Fortran）
传入参数：从deltann到IDOT，均为N文件中读取的参数，delta_t和deltat为信号传播时间，用于判断信号传播时间是否收敛，X_R，Y_R，Z_R为测站坐标，首次迭代时，可初始化为0或概略坐标（O文件头），GPSsec为转化成GPS时的观测时刻
上述代码中有关时间的参数比较多，这里再次梳理一遍，防止混淆：
观测时刻（GPSsec）：接收机收到信号的时刻，O文件每个历元的第一行记录，需转换成GPS周内秒
卫星钟差时间（detat_toc）：由观测时刻减去卫星信号发射时刻TOE，TOE以GPS周内秒的形式存储，这个时间只用于卫星钟差改正
信号近似传播时间（delta_t）：由伪距进行计算，需要进行卫星钟差、接收机钟差、电离层和对流层改正（上述代码没有加入电离层和流层改正，推荐两种简单的改正模型：电离层经验模型Klobuchar，对流层经验模型GCAT）
信号发射时刻（T_S）：由观测时刻减去信号近似传播时间
规划时间（tk）：将信号发射时刻规划到以TOE为基准的时刻
上述代码与公式一一对应，需要注意以下几点：
1）if (tk >32400)tk -= 604800;else if (tk< -32400)tk += 604800;规划时间改正，604800为一周的秒数，32400为一周半的秒数。该部分内容可参考其他博主：卫星发射时刻归化
2）计算偏近点角E时，因为E极小，迭代几次即可收敛，因此收敛条件只要保证精度即可,在计算卫星钟差时，末项的改正数用到了偏近点角E，如需改正，可将E保留进行传参
3）C语言中角度计算均是以弧度为单位；atan和atan2均是求反正切函数，后者的使用范围是是四象限角
4）上述中用到的sqrt，pow，fabs分别是：开方函数，幂函数，取绝对值函数，均需包含头文件
BDS的卫星位置解算与GPS卫星有很大相似之处，其中MEO与IGSO卫星位置解算与GPS一致，GEO卫星从计算升交点赤经开始有所变化，在解算位置前，需要根据卫星的PRN号来判断卫星的种类，GEO计算公式如下（公式选自本科时期的论文，如有错误多多包涵）：
注意：（4-27）中-5°表示角度，为GEO卫星的倾角
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