根据定义可知，黎曼函数的函数图象应该是一系列松散的点，而非连续曲线，这是因为它一方面处处极限为0，另一方面在任意的小区间中，都包含着无数个值不为0的点。通常来说，黎曼函数的图像是由它在函数值最大的有限个有理点的值组成的散点图来逼近的。
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从黎曼函数的图像中可以看出，函数值比较大的点是很稀疏的，随着函数值的减小，点在横向和纵向上都变得越来越密集。
根据图像的特点，黎曼函数有时也被称为爆米花函数、雨滴函数。
关于黎曼ζ(s)函数的全定义积分式有两大类共四种：
1、第一类：ζ(s)的围道积分定义式.是全定义的，只有一种，这在卢昌海的《黎曼猜想漫谈》中说明得很清楚.
2、第二类：ζ(s)的区间积分定义式.有三种：
（1）ζ(s)的椭圆级数全定义积分式.由ζ(s)的椭圆级数半定义积分式(ReS＞1)通过解析开拓而得.
（2）ζ(s)的黎曼变换对称积分式.是全定义的，有对称性，由ζ(s)的椭圆级数半定义积分式(ReS＞1)进行黎曼变换而得.
（3）ζ(s)的几何级数全定义积分式.由ζ(s)的几何级数半定义积分式(ReS＞1)通过解析开拓而得.
黎曼ζ(s)函数的半定义积分式和对称积分式，在《数学百科词典》中有详细的介绍.其ζ(s)的椭圆级数全定义积分式和几何级数全定义积分式是本人在化简黎曼猜想的高等方程时发现的.
你指的应该是0到1上的,这样定义的函数称为Riemann函数（黎曼函数）：
R（x）=1,如果x=0；
R（x）=1/q,如果x=p/q,p、q互素；
R（x）=0,如果x是无理数；
和Dirichlet函数一样,这个函数在高等数中是非常有用的.
我要要证明Riemann可积,要用定义,我们的目标是如何把【0,1】分成k份,来看它的和趋于一个数,下面来找这个k
我们先观察R（x）=1/q,如果x=p/q,p、q互素；我们可以根据q不同把x分成组,而每一组里面的R（x）值都是1/q.而且个数要小于q；但要注意这样的q存在一个最大值Q,现在我们把k划成Q方份,那么黎曼上和《1/Q,当划分的k比Q方还加大趋于无穷时,显然黎曼上和＝0
所以黎曼可积
黎曼函数：当X在[0，1]区间时，当X=P/Q时（P/Q为既约真分数），R（X）=1/Q；
当X=0或1时，R（X）=0。
黎曼函数是黎曼构造的一个特殊函数，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。
