贝塞尔公式是用x的偶次幂的无穷和来定义，数n称为贝塞尔函数的阶。
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利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。又称标函数。用柱坐标解拉普拉斯方程时，用到贝塞尔函数，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数。
它们以19世纪德国天文学家FW贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。贝塞尔函数的一族，也称第一类贝塞尔函数。
二类贝塞尔公式
第二类贝塞尔函数( 又称诺伊曼函数 )，记作Yn（x），它由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义。第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为Hn＝Jn±iYn，其中i为虚数，用n阶( 正或负 )贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程。
贝塞尔函数是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数。这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。
贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波，因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。
利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。又称标函数。用柱坐标解拉普拉斯方程时，用到贝塞尔函数，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。贝塞尔函数的一族，也称第一类贝塞尔函数，记作 ，用 的偶次幂的无穷和来定义，数 称为贝塞尔函数的阶，它依赖于函数所要解决的问题。 的图形像衰减的余弦曲线， 像衰减的正弦曲线(见图)。第二类贝塞尔函数(又称诺伊曼函数)，记作 。当n为非整数时， 可以由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义；当 为整数时， 不能由第一类贝塞尔函数的简单组合得到，此时需要通过一个求极限过程来计算函数值。第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为 ，其中 为虚数，用n阶(正或负)贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程。
第一类贝塞尔函数的形状大致与按math1/\sqrt x /math速率衰减的正弦或三角函数|余弦函数类似，但它们的零点并不是周期性的，另外随着''x''的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数。
第一类贝塞尔函数 (Bessel function of the firstkind)贝塞尔方程的第一解.
上式中
为Γ函数（它可视为阶乘|阶乘函数向非整型因变量和自变量|自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的形状大致与按math1/\sqrt x /math速率衰减的正弦或三角函数|余弦函数类似，但它们的零点并不是周期性的，另外随着''x''的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数。
刚刚错了= =，现在看下对不对？
球贝塞尔函数
第一类球贝塞尔函数j_n (x)曲线（n = 0, 1, 2）
第二类球贝塞尔函数y_n (x)曲线（n = 0, 1, 2)
若使用分离变量法求解球坐标下的三维拉普拉斯方程，则可得到如下形式关于径向（"r"方向）分量的常微分方程：
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0
关于上述方程的一对线性无关解称为'''球贝塞尔函数'''，分别用"j","n"和"y","n"表示（有时也记为"n","n"）。这两个函数与一般贝塞尔函数''J''，''n''和''Y''，''n''存在关系：
j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),
y_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).
球贝塞尔函数也可写成：
j_n(x) = (-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\sin x}{x}
y_n(x) = -(-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\cos x}{x}
0阶第一类球贝塞尔函数j_0(x)又称为sinc函数。头几阶整阶球贝塞尔函数的表达式分别为：
第一类：
j_0(x)=\frac{\sin x} {x}
j_1(x)=\frac{\sin x} {x^2}- \frac{\cos x} {x}
j_2(x)=\left(\frac{3} {x^2} - 1 \right)\frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x} {x^2}
第二类：
y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\,\frac{\cos x} {x}
y_1(x)=j_{-2}(x)=-\,\frac{\cos x} {x^2}- \frac{\sin x} {x}
y_2(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,\frac{3}{x^2}+1 \right)\frac{\cos x}{x}- \frac{3 \sin x} {x^2}.
还可以依照前面构造汉开尔函数相同的步骤构造所谓 U球汉开尔函数/U：
h_n^{(1)}(x) = j_n(x) + i y_n(x)
h_n^{(2)}(x) = j_n(x) - i y_n(x)
事实上，所有半奇数阶贝塞尔函数都可以写成由三角函数组成的封闭形式的表达式，球贝塞尔函数也同样可以。特别地，对所有非负整数''n''，存在：
h_n^{(1)}(x) = (-i)^{n+1} \frac{e^{ix}}{x} \sum_{m=0}^n \frac{i^m}{m!(2x)^m} \frac{(n+m)!!}{(n-m)!!}
而对实自变量''x''，''h''，''n''， (2)是上面''h''，''n''， (1)的复共轭（!! 表示'''双阶乘|阶乘'''）。由此我们可以通过得到''h''，再分离实部虚部，求出相应阶''j'' 和''h'' 的表达式，譬如''j''sub0/sub(''x'') = sin(''x'')/''x''，''y''sub0/sub(''x'') = -cos(''x'')/''x''，等等。
MATLAB提供了计算贝塞尔函数的函数,具体包括：
besselj - 第一类贝塞尔函数,或简称贝塞尔函数；
bessely - 第二类贝塞尔函数,又称诺伊曼函数（Neumann function）；
besseli - 第一类修正贝塞尔函数；
besselk - 第二类修正贝塞尔函数；
besselh - 第三类贝塞尔函数,又称汉克尔函数（Hankel function）.
这几个函数的调用语法基本相同,例如
J = besselj(nu,Z)
J = besselj(nu,Z,1)
[J,ierr] = besselj(nu,Z)
其中,nu为贝塞尔函数的阶数,Z为函数自变量.阶数必须为实数,但Z可以是复数.
值得一提的是,上述函数是MATLAB基本模块（也就是说不需要任何附加的工具箱）提供的特殊函数,采用数值方法计算；而符号数学工具箱则提供了第一和第二类的4个贝塞尔函数,名称和调用方式都与MATLAB基本系统的4个函数完全一致,但支持微分、积分等符号运算.
