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#include stdlib.h
#include stdio.h
#define N 101
char b[N];
int i,j,t,a,phi[N]={0,1,1};
int main(){
for(i=2;iN;i++)if(!b[i])
for(j=2;i*jN;j++)b[i*j]=1;//筛素数
puts("N\tphi(N)");
for(i=2;iN;i++){
t=i;
a=1;
for(j=2;ji;j++)if(!b[j]t%j==0){//找质因数
t/=j;
a*=j-1;
}
if(a==1)a=t-1;
else a*=t;
phi[i]=a;
printf("%d\t%d\n",i,a);
}
return 0;
}
质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。
中文名
质数
外文名
prime number
别名
素数
例子
2、3、5、7、11、13、17、19
讨论范围
自然数集
个数
听语音
素数两性定理
6（x）+-1=（pP）6乘以完全不等数加减1是一对孪生素数。
其中，6（X-1=（P 6乘以阴性不等数减去1等于阴性素数；
6X）+1=P）6乘以阳性不等数加上1等于阳性素数。
（X=/=6NM+-（M-N）阴性不等数不等于阴性上下两式；
X）=/=6NM+-（N+M）阳性不等数不等于阳性上下两式。
（x)=/=6NM+-(M+-N) 完全不等数不等于阴阳上下四式产生的数。
（N，M两个自然数，N=《M）
素数分布规律
以36N（N+1）为单位，随着N的增大，素数的个数以波浪形式渐渐增多。
孪生质数也有相同的分布规律。
以下15个区间内质数和孪生质数的统计数。
S1区间1——72，有素数18个，孪生素数7对。（2和3不计算在内，最后的数是孪中的也算在前面区间。）
S2区间73——216，有素数27个，孪生素数7对。
S3区间217——432，有素数36个，孪生素数8对。
S4区间433——720，有素数45个，孪生素数7对。
S5区间721——1080，有素数52个，孪生素数8对。
S6区间1081——1512，素数60个，孪生素数9对。
S7区间1513——2016，素数65个，孪生素数11对。
S8区间2017——2592，素数72个，孪生素数12对。
S9区间2593——3240，素数80个，孪生素数10对。
S10区间3241——3960，素数91个，孪生素数18对。
S11区间3961——4752素数92个，孪生素数17对。
S12区间4752——5616素数98个，孪生素数13对。
S13区间5617——6552素数108个，孪生素数14对。
S14区间6553——7560素数113个，孪生素数19对。
S15区间7561——8640素数116个，孪生素数14对。（以上没有校正，可能有误差。）
素数分布规律的发现，许多素数问题可以解决
质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，pn加一是素数或者不是素数。
如果pn加一为素数，则pn加一要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果pn加一为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以pn加一不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。
对于一定范围内的素数数目的计算
尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。素数定理可以回答此问题。
素数分布规律的发现，许多素数问题可以解决。
在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。
存在任意长度的素数等差数列。（格林和陶哲轩，2004年[1]）
一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（挪威数学家布朗，1920年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5)(中国潘承洞，1968年)
一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2)(中国陈景润)[2]
猜想
听语音
哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？
孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？
斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？
是否有无穷多个的梅森素数？
在n2与（n+1）2之间是否每隔n就有一个素数？
是否存在无穷个形式如X2+1素数？
黎曼猜想
孪生素数是无限多的证明
关键词:完全不等数,SN区间,LN区间.
一。素数两性定理
大于3的素数只分布在6n-1和6n+1两数列中。（n非0自然数，下同）
6n-1数列中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；6n+1数列中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数。
阴性合数定理
6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1）（N M两个非0自然数，N=〈 M，下同）
6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1）
在6n-1数列中只有这两种合数，余下就是阴性素数了，所以就有阴性素数定理
6NM+-（M-N）=/=x（阴性不等数）
6x-1=q（阴性素数）
阳性合数定理
6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1）
6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1）
在6n+1数列中只有这两种合数，余下就是阳性素数了，所以就有阳性素数定理
6NM+-（N+M）=/=X（阳性不等数）
6X+1=P（阳性素数）
二。与孪生素数相对应的完全不等数
完全不等数(X),它既不等于阴性上下两式；也不等于阳性上下两式。
(X)=/=6NM+-(M+-N)
则有6(X)+1=P 6(X)-1=q （p减1能被6整除的素数，q加1能被6整除的素数，下同）
一个完全不等数所产生的阴性素数q和阳性素数P就是一对孪生素数.
并且完全不等数与孪生素数是一一对应的.
三。阴阳四种等数在自然数列中的分布概况
6NM+（M-N）=阴性上等数6NM-（M-N）=阴性下等数
6NM+（N+M）=阳性上等数6NM-（N+M）=阳性下等数
为了搞清它们在自然数中分布情况，把四式中的N叫级别因子数，M叫无限因子数。
四种等数的每一个级别的最小等数都在6NN+-（N+N）范围。
每一级别的上等数相邻两等数距离是6n+1，在自然数列中比例是1/（6n+1），两种上等数每个级别的比例合计是2/（6n+1），（但实际是略少于这个比例因每一级别的底部都没有这个级别的上等数；下等数也一样的情况。）
每一级别的下等数相邻等数的距离是6n-1，在自然数列中的比例是1/（6n-1），阴阳两种下等数的每个级别的合计比例是2/（6n-1）。
每个级别的四种等数在自然数列中的比例是24N/[(6N+1)(6N-1)].
四。四种等数大小数列的互相渗透
自然数列中有阴性上等数数列，阴性的下等数数列，阳性上等数数列和阳性下等数数列。它们的级别有无限多，每一个级别的数列的等数都是无限多的。同一种等数级别不同的数列都是互相渗透而产生重叠，并以两级别的等数距离的乘积而严格地重叠的。在计算一种若干的级别的等数时用连乘式正好可以表示它的渗透重叠关系。四种等数数列之间都有互相渗透而重叠，只有同一级别阴阳上上数列.下下数列没有渗透.四种数列之间的渗透重叠不用计算也足够可以证明了。
五。与素数分布基本同步的SN区间
把自然数划分成12，24，36……以12为递增的一个个区间，这样的区间叫SN区间。SN区间与四种等数数列是同步的，即:
12（1+2+3+……+N）=6NN+6N
在这样的区间内包括N级别及以下的所有四种等数数列的等数，并没有比N级别大的数列等数，与四种等数的级别是完全同步的，所以与素数的分布也是同步的。
六。每个大于S8区间内都有8个以上的完全不等数
在每一个SN区间只有存在1至N级别的四种数列等数，每一级别等数的比例是可以确定，由于上下级别的渗透。就可以拿以下式来计算S8区间的完全不等数的至少个数。
12*8*11/35*95/143*251/323*479/575*779/899*1151/1295*1593/1763*2111/2303=8.2768
其他每一个SN区间可用这种方法计算.
随着区间的增大完全不等数计算的数量也会越来越多.以后都会超过8个.
七。误差分析
用最严格下取整的误差分析方法，将SN区间捆绑成1,2,4,8,16......2^(N-1)的LN区间.在每一个大于S8的SN区间计算都大于8个完全不等数,在每一个LN区间都有2^N-1级别等数数列, 每级级别有4种等数数列,每一级别一种等数筛一次误差极限是1 .每一个LN区间误差极限是4*(2^N-1).
8*2^(N-1)-4*(2^N-1)=4
最严格下取整后大于L4的区间仍然还有4个完全不等数。
八。总结
根据以上的论证，在大于S8区间每一个SN区间都有8个以上的完全不等数.
严格的下取整后，大于L4的每一个LN区间都还有多于4个的完全不等数以上的量。
LN区间是无限多的，完全不等数与孪生素数对是一一对应的，所以孪生素数也是无限多的。
这个证明期待着权威的表态。
性质
听语音
质数具有许多独特的性质：
（1）质数p的约数只有两个：1和p。
（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。
（3）质数的个数是无限的。
（4）质数的个数公式 是不减函数。
（5）若n为正整数，在 到 之间至少有一个质数。
（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到 之间至少有一个质数。
（7）若质数p为不超过n( )的最大质数，则 。
（8）所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。
编程
听语音
基本判断思路：
在一般领域，对正整数n，如果用2到 之间的所有整数去除，均无法整除，则n为质数。
质数大于等于2 不能被它本身和1以外的数整除
Python 代码：
from math import sqrt
def is_prime(n):
if n == 1:
return False
for i in range(2, int(sqrt(n))+1):
if n % i == 0:
return False
return True
Java代码：
1.
public static boolean testIsPrime2(int n){
if (n = 3) {
return n 1;
}
for(int i=2;in;i++){
if(n%i == 0)
return false;
}
return true;
}
/*优化后*/
public static boolean testIsPrime3(int n){
if (n = 3) {
return n 1;
}
for(int i=2;i=Math.sqrt(n);i++){
if(n%i == 0)
return false;
}
return true;
}
2.
public class Prime {
public static void main(String[] args) {
int a = 17; //判断17是不是质数
int c = 0;
for (int b = 2; b a; b++) {
if (a % b != 0) {
c++;
}
}
if (c == a - 2) {
System.out.println(a + "是质数");
} else {
System.out.println(a + "不是质数");
}
}
}
Php代码：
function isPrime($n) {//TurkHackTeam AVP production
if ($n = 3) {
return $n 1;
} else if ($n % 2 === 0 || $n % 3 === 0) {
return false;
} else {
for ($i = 5; $i * $i = $n; $i += 6) {
if ($n % $i === 0 || $n % ($i + 2) === 0) {
return false;
}
}
return true;
}
}
C#代码：
using System;
namespace 计算质数
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
for (int i = 2,j=1; i 2100000000j=1000; i++)//输出21亿内的所有质数，j控制只输出1000个。
{
if (st(i))
{
Console.WriteLine("{0,-10}{1}",j,i);
j++;
}
}
}
static bool st(int n)//判断一个数n是否为质数
{
int m = (int)Math.Sqrt(n);
for(int i=2;i=m;i++)
{
if(n%i==0 i!=n)
return false;
}
return true;
}
}
}
C/C++代码：
#includeiostream
#includealgorithm
#includecmath
using namespace std;
const long long size=100000;//修改size的数值以改变最终输出的大小
long long zhishu[size/2];
void work(){//主要程序
zhishu[1]=2;
long long k=2;
for(long long i=3;i=size;i++){//枚举每个数
bool ok=1;
for(long long j=1;jk;j++){//枚举已经得到的质数
if(i%zhishu[j]==0){
ok=!ok;
break;
}
}
if(ok){
zhishu[k]=i;
cout"count"k' 'iendl;
k++;
}
}
}
int main(){
freopen("zhishu.out","w",stdout);
cout"count1 2"endl;
work();
return 0;
}
质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。
中文名
质数
外文名
prime number
别名
素数
例子
2、3、5、7、11、13、17、19
讨论范围
自然数集
个数
听语音
素数两性定理
6（x）+-1=（pP）6乘以完全不等数加减1是一对孪生素数。
其中，6（X-1=（P 6乘以阴性不等数减去1等于阴性素数；
6X）+1=P）6乘以阳性不等数加上1等于阳性素数。
（X=/=6NM+-（M-N）阴性不等数不等于阴性上下两式；
X）=/=6NM+-（N+M）阳性不等数不等于阳性上下两式。
（x)=/=6NM+-(M+-N) 完全不等数不等于阴阳上下四式产生的数。
（N，M两个自然数，N=《M）
素数分布规律
以36N（N+1）为单位，随着N的增大，素数的个数以波浪形式渐渐增多。
孪生质数也有相同的分布规律。
以下15个区间内质数和孪生质数的统计数。
S1区间1——72，有素数18个，孪生素数7对。（2和3不计算在内，最后的数是孪中的也算在前面区间。）
S2区间73——216，有素数27个，孪生素数7对。
S3区间217——432，有素数36个，孪生素数8对。
S4区间433——720，有素数45个，孪生素数7对。
S5区间721——1080，有素数52个，孪生素数8对。
S6区间1081——1512，素数60个，孪生素数9对。
S7区间1513——2016，素数65个，孪生素数11对。
S8区间2017——2592，素数72个，孪生素数12对。
S9区间2593——3240，素数80个，孪生素数10对。
S10区间3241——3960，素数91个，孪生素数18对。
S11区间3961——4752素数92个，孪生素数17对。
S12区间4752——5616素数98个，孪生素数13对。
S13区间5617——6552素数108个，孪生素数14对。
S14区间6553——7560素数113个，孪生素数19对。
S15区间7561——8640素数116个，孪生素数14对。（以上没有校正，可能有误差。）
素数分布规律的发现，许多素数问题可以解决
质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，pn加一是素数或者不是素数。
如果pn加一为素数，则pn加一要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果pn加一为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以pn加一不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。
对于一定范围内的素数数目的计算
尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。素数定理可以回答此问题。
素数分布规律的发现，许多素数问题可以解决。
在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。
存在任意长度的素数等差数列。（格林和陶哲轩，2004年[1]）
一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（挪威数学家布朗，1920年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5)(中国潘承洞，1968年)
一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2)(中国陈景润)[2]
猜想
听语音
哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？
孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？
斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？
是否有无穷多个的梅森素数？
在n2与（n+1）2之间是否每隔n就有一个素数？
是否存在无穷个形式如X2+1素数？
黎曼猜想
孪生素数是无限多的证明
关键词:完全不等数,SN区间,LN区间.
一。素数两性定理
大于3的素数只分布在6n-1和6n+1两数列中。（n非0自然数，下同）
6n-1数列中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；6n+1数列中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数。
阴性合数定理
6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1）（N M两个非0自然数，N=〈 M，下同）
6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1）
在6n-1数列中只有这两种合数，余下就是阴性素数了，所以就有阴性素数定理
6NM+-（M-N）=/=x（阴性不等数）
6x-1=q（阴性素数）
阳性合数定理
6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1）
6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1）
在6n+1数列中只有这两种合数，余下就是阳性素数了，所以就有阳性素数定理
6NM+-（N+M）=/=X（阳性不等数）
6X+1=P（阳性素数）
二。与孪生素数相对应的完全不等数
完全不等数(X),它既不等于阴性上下两式；也不等于阳性上下两式。
(X)=/=6NM+-(M+-N)
则有6(X)+1=P 6(X)-1=q （p减1能被6整除的素数，q加1能被6整除的素数，下同）
一个完全不等数所产生的阴性素数q和阳性素数P就是一对孪生素数.
并且完全不等数与孪生素数是一一对应的.
三。阴阳四种等数在自然数列中的分布概况
6NM+（M-N）=阴性上等数6NM-（M-N）=阴性下等数
6NM+（N+M）=阳性上等数6NM-（N+M）=阳性下等数
为了搞清它们在自然数中分布情况，把四式中的N叫级别因子数，M叫无限因子数。
四种等数的每一个级别的最小等数都在6NN+-（N+N）范围。
每一级别的上等数相邻两等数距离是6n+1，在自然数列中比例是1/（6n+1），两种上等数每个级别的比例合计是2/（6n+1），（但实际是略少于这个比例因每一级别的底部都没有这个级别的上等数；下等数也一样的情况。）
每一级别的下等数
φ函数的值 通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ
欧拉常数(Euler-Mascheroniconstant)。
学过高等数学的人都知道，调和级数S=1+1/2+1/3+..是发散的这时引用欧拉常数。
在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’stotientfunction)，它又称为Euler’stotientfunction、φ函数、欧拉商数等例如φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。
Python math 库提供许多对浮点数的数学运算函数，math模块不支持复数运算，若需计算复数，可使用cmath模块（本文不赘述）。
使用dir函数，查看math库中包含的所有内容：
1） math.pi # 圆周率π
2） math.e #自然对数底数
3） math.inf #正无穷大∞，-math.inf #负无穷大-∞
4） math.nan #非浮点数标记，NaN（not a number）
1） math.fabs(x) #表示X值的绝对值
2） math.fmod(x,y) #表示x/y的余数，结果为浮点数
3） math.fsum([x,y,z]) #对括号内每个元素求和，其值为浮点数
4） math.ceil(x) #向上取整，返回不小于x的最小整数
5）math.floor(x) #向下取整，返回不大于x的最大整数
6） math.factorial(x) #表示X的阶乘，其中X值必须为整型，否则报错
7） math.gcd(a,b) #表示a,b的最大公约数
8） math.frexp(x) #x = i *2^j，返回（i，j）
9） math.ldexp(x,i) #返回x*2^i的运算值，为math.frexp(x)函数的反运算
10） math.modf(x) #表示x的小数和整数部分
11） math.trunc(x) #表示x值的整数部分
12） math.copysign(x,y) #表示用数值y的正负号，替换x值的正负号
13） math.isclose(a,b,rel_tol =x,abs_tol = y) #表示a，b的相似性，真值返回True，否则False；rel_tol是相对公差：表示a，b之间允许的最大差值，abs_tol是最小绝对公差，对比较接近于0有用，abs_tol必须至少为0。
14） math.isfinite(x) #表示当x不为无穷大时，返回True，否则返回False
15） math.isinf(x) #当x为±∞时，返回True，否则返回False
16） math.isnan(x) #当x是NaN，返回True，否则返回False
1） math.pow(x,y) #表示x的y次幂
2） math.exp(x) #表示e的x次幂
3） math.expm1(x) #表示e的x次幂减1
4） math.sqrt(x) #表示x的平方根
5） math.log（x,base） #表示x的对数值，仅输入x值时，表示ln(x)函数
6） math.log1p(x) #表示1+x的自然对数值
7） math.log2(x) #表示以2为底的x对数值
8） math.log10(x) #表示以10为底的x的对数值
1） math.degrees(x) #表示弧度值转角度值
2） math.radians(x) #表示角度值转弧度值
3） math.hypot(x,y) #表示(x,y)坐标到原点(0,0)的距离
4） math.sin(x) #表示x的正弦函数值
5） math.cos(x) #表示x的余弦函数值
6） math.tan(x) #表示x的正切函数值
7）math.asin(x) #表示x的反正弦函数值
8） math.acos(x) #表示x的反余弦函数值
9） math.atan(x) #表示x的反正切函数值
10） math.atan2(y,x) #表示y/x的反正切函数值
11） math.sinh(x) #表示x的双曲正弦函数值
12） math.cosh(x) #表示x的双曲余弦函数值
13） math.tanh(x) #表示x的双曲正切函数值
14） math.asinh(x) #表示x的反双曲正弦函数值
15） math.acosh(x) #表示x的反双曲余弦函数值
16） math.atanh(x) #表示x的反双曲正切函数值
1）math.erf(x) #高斯误差函数
2） math.erfc(x) #余补高斯误差函数
3） math.gamma(x) #伽马函数（欧拉第二积分函数）
4） math.lgamma(x) #伽马函数的自然对数
