摘要：傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号，用来进行图像除噪、图像增强等处理。
本文分享自华为云社区《[Python图像处理] 二十二.Python图像傅里叶变换原理及实现》，作者：eastmount。
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本文主要讲解图像傅里叶变换的相关内容，在数字图像处理中，有两个经典的变换被广泛应用——傅里叶变换和霍夫变换。其中，傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号，用来进行图像除噪、图像增强等处理。
傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）常用于数字信号处理，它的目的是将时间域上的信号转变为频率域上的信号。随着域的不同，对同一个事物的了解角度也随之改变，因此在时域中某些不好处理的地方，在频域就可以较为简单的处理。同时，可以从频域里发现一些原先不易察觉的特征。傅里叶定理指出“任何连续周期信号都可以表示成（或者无限逼近）一系列正弦信号的叠加。”
下面引用李老师“Python+OpenCV图像处理”中的一个案例，非常推荐同学们去学习。如下图所示，他将某饮料的制作过程的时域角度转换为频域角度。
绘制对应的时间图和频率图如下所示：
傅里叶公式如下，其中w表示频率，t表示时间，为复变函数。它将时间域的函数表示为频率域的函数f(t)的积分。
傅里叶变换认为一个周期函数（信号）包含多个频率分量，任意函数（信号）f(t)可通过多个周期函数（或基函数）相加合成。从物理角度理解，傅里叶变换是以一组特殊的函数（三角函数）为正交基，对原函数进行线性变换，物理意义便是原函数在各组基函数的投影。如下图所示，它是由三条正弦曲线组合成。
傅里叶变换可以应用于图像处理中，经过对图像进行变换得到其频谱图。从谱频图里频率高低来表征图像中灰度变化剧烈程度。图像中的边缘信号和噪声信号往往是高频信号，而图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号往往是低频信号。这时可以有针对性的对图像进行相关操作，例如图像除噪、图像增强和锐化等。
二维图像的傅里叶变换可以用以下数学公式（15-3）表达，其中f是空间域（Spatial Domain）)值，F是频域（Frequency Domain）值
对上面的傅里叶变换有了大致的了解之后，下面通过Numpy和OpenCV分别讲解图像傅里叶变换的算法及操作代码。
Numpy中的 FFT包提供了函数 np.fft.fft2()可以对信号进行快速傅里叶变换，其函数原型如下所示，该输出结果是一个复数数组（Complex Ndarry）。
fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)
Numpy中的fft模块有很多函数，相关函数如下：
#计算一维傅里叶变换
numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#计算二维的傅里叶变换
numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#计算n维的傅里叶变换
numpy.fft.fftn()
#计算n维实数的傅里叶变换
numpy.fft.rfftn()
#返回傅里叶变换的采样频率
numpy.fft.fftfreq()
#将FFT输出中的直流分量移动到频谱中央
numpy.fft.shift()
下面的代码是通过Numpy库实现傅里叶变换，调用np.fft.fft2()快速傅里叶变换得到频率分布，接着调用np.fft.fftshift()函数将中心位置转移至中间，最终通过Matplotlib显示效果图。
# -*- coding: utf-8 -*- import cv2as cv import numpyas np from matplotlib import pyplot as plt #读取图像 img= cv.imread('test.png', 0) #快速傅里叶变换算法得到频率分布 f= np.fft.fft2(img) #默认结果中心点位置是在左上角, #调用fftshift()函数转移到中间位置 fshift= np.fft.fftshift(f) #fft结果是复数, 其绝对值结果是振幅 fimg= np.log(np.abs(fshift)) #展示结果 plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Fourier') plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('Fourier Fourier') plt.axis('off') plt.show()
