#include stdio.h
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int candp(int a,int b,int c) //数据处理函数，实现幂的取余运算
{
int r=1;
b=b+1;
while(b!=1)
{
r=r*a;
r=r%c;
b--;
}
printf("%d\n",r);
return r;
}
int fun(int x,int y) //公钥e与t的互素判断
{
int=t;
while(y)
{
t=x;
x=y;
y=t%y;
}
if(x==1)
return 0; //x与y互素时返回0
else
return 1; //x与y不互素时返回1
}
void main()
{
int p,q,e,d,m,n,t,c,r;
printf("请输入两个素数:p,q:");
scanf("%d%d",p,q);
n=p*q;
printf("计算得n为%3d\n",n);
t=(p-1)*(q-1); //求n的欧拉数
printf("计算得t为%3d\n",t);
printf("请输入公钥e:");
scanf("%d",e);
if(e1||et||fun(e,t))
{
printf("e不合要求，请重新输入:") //e1或et或e与t不互素时，重新输入
scanf("%d",e);
}
d=1;
while(((e*d)%t)!=1)d++; //由公钥e求出私钥d
printf("经计算d为%d\n",d);
printf("加密请输入1\n"); //加密or解密选择
printf("解密请输入2\n");
scanf("%d",r);
switch(r)
{
case1:printf("请输入明文m:"); //输入要加密的明文数字
scanf("%d",m);
c=candp(m,e,n);
printf("密文为%d\n",c);break;
case2:printf("请输入密文c:"); //输入要解密的密文数字
scanf("%d",c);
m=candp(c,d,n);
printf("明文为%d\n",m);break;
}
}
RSA算法描述
1、选取长度相等的两个大素数p和q，计算其乘积：
n=pq
然后随机选取加密密钥e，使e和（p-1）（q-1）互素。
最后用欧几里得拓展算法计算解密密钥d，以满足
ed=1(mod(p-1)(q-1))
即
d=e-1mod((p-1)(q-1))
e和n是公钥，d是私钥
2、机密公式如下：
ci=mi^e（modn）
3、解密时，取每一密文分组ci并计算：
mi=ci^d（modn）
Ci^d=（mi^e）^d=mi^(ed)=mi^[k（p–1）（q–1）+1]=mimi^[k（p–1）（q–1）]=mi*1=mi
4、消息也可以用d加密e解密
注意：此程序只是针对RSA算法的入门，无法达到安全要求的位数，谨慎使用。
//rsa.h
#include stdio.h
#define MAX_NUM 63001
#define MAX_PRIME 251
//! 返回代码
#define OK 100
#define ERROR_NOEACHPRIME 101
#define ERROR_NOPUBLICKEY 102
#define ERROR_GENERROR 103
unsigned int MakePrivatedKeyd( unsigned int uiP, unsigned int uiQ );
unsigned int GetPrivateKeyd( unsigned int iWhich );
unsigned int MakePairkey( unsigned int uiP, unsigned int uiQ, unsigned int uiD );
unsigned int GetPairKey( unsigned int d, unsigned int e );
void rsa_encrypt( int n, int e, char *mw, int iLength, int *cw );
void rsa_decrypt( int n, int d, int *cw, int cLength, char *mw );
void outputkey();
//rsa.c
#include "rsa.h"
//! 保存私钥d集合
struct pKeyset
{
unsigned int set[ MAX_NUM ];
unsigned int size;
}pset;
//! 保存公、私钥对
struct pPairkey
{
unsigned int d;
unsigned int e;
unsigned int n;
}pairkey;
// 名称：isPrime
// 功能：判断两个数是否互质
// 参数：m: 数a; n: 数b
// 返回：m、n互质返回true; 否则返回false
bool isPrime( unsigned int m, unsigned int n )
{
unsigned int i=0;
bool Flag = true;
if( m2 || n2 )
return false;
unsigned int tem = ( m n ) ? n : m;
for( i=2; i=tem Flag; i++ )
{
bool mFlag = true;
bool nFlag = true;
if( m % i == 0 )
mFlag = false;
if( n % i == 0 )
nFlag = false;
if( !mFlag !nFlag )
Flag = false;
}
if( Flag )
return true;
else
return false;
}
// 名称：MakePrivatedKeyd
// 功能：由素数Q、Q生成私钥d
// 参数：uiP: 素数P; uiQ: 素数Q
// 返回：私钥d
unsigned int MakePrivatedKeyd( unsigned int uiP, unsigned int uiQ )
{
unsigned int i=0;
//! 得到所有与z互质的数( 私钥d的集合 )
unsigned int z = ( uiP -1 ) * ( uiQ -1 );
pset.size = 0;
for( i=0; iz; i++ )
{
if( isPrime( i, z ) )
{
pset.set[ pset.size++ ] = i;
}
}
return pset.size;
}
// 名称：MakePairKey
// 功能：生成RSA公、私钥对
// 参数：uiP: 素数P; uiQ: 素数Q; uiD: 私钥d
// 返回：错误代码
unsigned int MakePairkey( unsigned int uiP, unsigned int uiQ, unsigned int uiD )
{
bool bFlag = true;
unsigned int i = 0, e;
unsigned int z = ( uiP-1 ) * ( uiQ-1 );
unsigned int d = pset.set[uiD];
//d=uiD;
if( !isPrime( z, d ) )
return ERROR_NOEACHPRIME;
for( i=2; iz; i++ )
{
if( (i*d)%z == 1 )
{
e = i;
bFlag = false;
}
}
if( bFlag )
return ERROR_NOPUBLICKEY;
if( (d*e)%z != 1 )
ERROR_GENERROR;
pairkey.d = d;
pairkey.e = e;
pairkey.n = uiP * uiQ;
return OK;
}
// 名称：GetPairKey
// 功能：对外提供接口，获得公、私钥对
// 参数：uiP: 素数P; uiQ: 素数Q; uiD: 私钥d
// 返回：
unsigned int GetPairKey( unsigned int d, unsigned int e )
{
d = pairkey.d;
e = pairkey.e;
return pairkey.n;
}
// 名称：GetPrivateKeyd
// 功能：对外提供接口，由用户选择ID得以私钥d
// 参数：iWhich: 用户选择私钥d的ID
// 返回：私钥d值
unsigned int GetPrivateKeyd( unsigned int iWhich )
{
if( pset.size = iWhich )
return pset.set[ iWhich ];
else
return 0;
}
// 名称：rsa_encrypt
// 功能：RSA加密运算
// 参数：n: 公钥n; e: 公钥e; mw: 加密明文; iLength: 明文长度; cw: 密文输出
// 返回：无
void rsa_encrypt( int n, int e, char *mw, int mLength, int *cw )
{
int i=0, j=0;
__int64 temInt = 0;
for( i=0; imLength; i++ )
{
temInt = mw[i];
if( e!=0 )
{
for( j=1; je; j++ )
{
temInt = ( temInt * mw[i] ) % n;
}
}
else
{
temInt = 1;
}
cw[i] = (int)temInt;
}
}
// 名称：rsa_decrypt
// 功能：RSA解密运算
// 参数：n: 私钥n; d: 私钥d; cw: 密文; cLength: 密文长度; mw: 明文输出
// 返回：无
void rsa_decrypt( int n, int d, int *cw, int cLength, char *mw )
{
int i=0, j=-1;
__int64 temInt = 0;
for( i=0; icLength/4; ++i )
{
mw[i] = 0;
temInt = cw[i];
if( d != 0 )
{
for( j=1; jd; j++ )
{
temInt = (__int64)( temInt * cw[i] ) % n;
}
}
else
{
temInt = 1;
}
mw[i] = (char)temInt;
}
}
void outputkey()
{
printf("PublicKey(e,n): (%d,%d)\n",pairkey.e,pairkey.n);
printf("PrivateKey(d,n): (%d,%d)\n",pairkey.d,pairkey.n);
}
//main.c
// 工程：RSA
// 功能：RSA加、解密文件
// 作者：jlcss|ExpNIS
#include stdio.h
#include afxwin.h
#include math.h
#include "rsa.h"
#define DECRYPT_FILE "RSA加密密文.txt"
#define ENCRYPT_FILE "RSA解密明文.txt"
//! 约束文件最大2M
#define MAX_FILE 1024*1024*2
// 名称：usage
// 功能：帮助信息
// 参数：应用程序名称
// 返回：提示信息
void Usage( const char *appname )
{
printf( "\n\tusage:rsa -k 素数P 素数Q\n" );
printf( "\tusage: rsa -e 明文文件 公钥e 公钥n\n" );
printf( "\tusage: rsa -d 密文文件 私钥d 私钥n\n" );
}
// 名称：IsNumber
// 功能：判断数字字符数组
// 参数：strNumber:字符数组
// 返回：数字字组数组返回true，否则返回false;
bool IsNumber( const char *strNumber )
{
unsigned int i;
if( !strNumber )
return false;
for ( i = 0 ; i strlen(strNumber) ; i++ )
{
if ( strNumber[i] '0' || strNumber[i] '9' )
return false;
}
return true;
}
// 名称：IsPrimeNumber
// 功能：判断素数
// 参数：num: 输入整数
// 返回：素数返回true，否则返回false;
bool IsPrimeNumber( unsigned int num )
{
unsigned int i;
if( num = 1 )
return false;
unsigned int sqr = (unsigned int)sqrt((double)num);
for( i = 2; i = sqr; i++ )
{
if( num % i == 0 )
return false;
}
return true;
}
// 名称：FileIn
// 功能：读取磁盘文件到内存
// 参数：strFile:文件名称；inBuff:指向文件内容缓冲区
// 返回：实际读取内容大小(字节)
int FileIn( const char *strFile, unsigned char *inBuff )
{
int iFileLen=0, iBuffLen=0;
//! 打开密文文件
CFile file( strFile, CFile::modeRead );
iFileLen = ( int )file.GetLength();
if( iFileLenMAX_FILE )
{
printf( "文件长度不能大于 %dM,!\n", MAX_FILE/(1024*1024) );
goto out;
}
iBuffLen = iFileLen;
inBuff = new unsigned char[iBuffLen];
if( !inBuff )
goto out;
ZeroMemory( inBuff, iBuffLen );
file.Read( inBuff, iFileLen );
file.Close();
out:
return iBuffLen;
}
// 名称：FileOut
// 功能：加/解密结果输出到当前目录磁盘文件中
// 参数：strOut指向输出字符缓冲区，输出大小len，strFile为输出文件
// 返回：无
void FileOut( const void *strOut, int len, const char *strFile )
{
//! 输出到文件
CFile outfile( strFile , CFile::modeCreate | CFile::modeWrite );
outfile.Write( strOut , len );
outfile.Close();
}
// 名称：CheckParse
// 功能：校验应用程序入口参数
// 参数：argc等于main主函数argc参数，argv指向main主函数argv参数
// 返回：若参数合法返回true，否则返回false
// 备注：简单的入口参数校验
bool CheckParse( int argc, char** argv )
{
bool bRes = false;
if( argc != 4 argc != 5 )
goto out;
if( argc == 4 argv[1][1] == 'k' )
{
//! 生成公、私钥对
if( !IsNumber( argv[2] ) ||
!IsNumber( argv[3] ) ||
atoi( argv[2] ) MAX_PRIME ||
atoi( argv[3] ) MAX_PRIME )
goto out;
}
else if( (argc == 5) (argv[1][1] == 'e' || argv[1][1] == 'd') )
{
//! 加密、解密操作
if( !IsNumber( argv[3] ) ||
!IsNumber( argv[4] ) ||
atoi( argv[3] ) MAX_NUM ||
atoi( argv[4] ) MAX_NUM )
goto out;
}
else
Usage(*argv);
bRes = true;
out:
return bRes;
}
// 名称：kOption1
// 功能：程序k选项操作：由素数P、Q生成私钥d集合
// 参数：uiP: 程序入口参数P; uiQ: 程序入口参数Q
// 返回：执行正确返回生成私钥数目，否则返回0
unsigned int kOption1( unsigned int uiP, unsigned int uiQ )
{
unsigned int uiRes = 0;
if( !IsPrimeNumber( uiP ) )
{
printf( "P输入错误，P必须为(0, %d]素数", MAX_PRIME );
return uiRes;
}
if( !IsPrimeNumber( uiQ ) )
{
printf( "Q输入错误，Q必须为(0, %d]素数", MAX_PRIME );
return uiRes;
}
if( uiP == uiQ )
{
printf( "素数P与素数Q相同，很容易根据公钥n开平方得出素数P和Q，这种加密不安全，请更换素数!\n" );
return uiRes;
}
printf( "正在生成私钥d集合......\n" );
uiRes = MakePrivatedKeyd( uiP, uiQ );
return uiRes;
}
//! 程序主函数
int main( int argc, char **argv )
{
unsigned int p , q , d , n , e;//two prime p q, public key(n, e) , private key(n , d)
CheckParse(argc, argv );
d=4828; //uid
if(argc == 4)
{
p = atoi( argv[2] );
q = atoi( argv[3] );
MakePrivatedKeyd(p, q);
MakePairkey(p, q, d );
outputkey();
}
else if(argc == 5)
{
char FileName[20];
strcpy(FileName, argv[2]);
int len;
if(argv[1][1] == 'e' )
{
unsigned char *inBuffer=(unsigned char *)malloc(MAX_FILE); //输入缓冲区
int *cw=(int *)malloc(MAX_FILE);
len = FileIn(FileName , inBuffer);
e = atoi(argv[3]);
n = atoi(argv[4]);
rsa_encrypt( n, e, (char *)inBuffer, len, cw );
FileOut( cw, 4*len, DECRYPT_FILE );
}
else if(argv[1][1] == 'd')
{
char *Buffer=(char *)malloc(MAX_FILE); //输入缓冲区
int *cw=(int *)malloc(MAX_FILE);
len = FileIn(FileName, (unsigned char *)cw);
d = atoi(argv[3]);
n = atoi(argv[4]);
rsa_decrypt( n, d, cw, len, Buffer );
FileOut( Buffer, len/4, ENCRYPT_FILE );
}
}
return 0;
}
#include stdlib.h
#include stdio.h
#include string.h
#include math.h
#include time.h
#define PRIME_MAX 200 // 生成素数范围
#define EXPONENT_MAX 200 // 生成指数e范围
#define Element_Max 127 // 加密单元的最大值，这里为一个char, 即1Byte
char str_read[100]="hello world !"; // 待加密的原文
int str_encrypt[100]; // 加密后的内容
char str_decrypt[100]; // 解密出来的内容
int str_read_len; // str_read 的长度
int prime1, prime2; // 随机生成的两个质数
int mod, eular; // 模数和欧拉数
int pubKey, priKey; // 公钥指数和私钥指数
// 生成随机素数，实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。
int randPrime()
{
int prime, prime2, i;
next:
prime = rand() % PRIME_MAX; // 随机产生数
if (prime = 1) goto next; // 不是质数，生成下一个随机数
if (prime == 2 || prime == 3) return prime;
prime2 = prime / 2; // prime=4, prime2 的平方必定大于 prime , 因此只检查小于等于prime2的数
for (i = 2; i = prime2; i++) // 判断是否为素数
{
if (i * i prime) return prime;
if (prime % i == 0) goto next; // 不是质数，生成下一个随机数
}
}
// 欧几里德算法，判断a,b互质
int gcd(int a, int b)
{
int temp;
while (b != 0) {
temp = b;
b = a % b;
a = temp;
}
return a;
}
//生成公钥指数，条件是 1 e 欧拉数，且与欧拉数互质。
int randExponent()
{
int e;
while (1)
{
e = rand() % eular; if (e EXPONENT_MAX) break;
}
while (1)
{
if (gcd(e, eular) == 1) return e; e = (e + 1) % eular; if (e == 0 || e EXPONENT_MAX) e = 2;
}
}
//生成私钥指数
int inverse()
{
int d, x;
while (1)
{
d = rand() % eular;
x = pubKey * d % eular;
if (x == 1)
{
return d;
}
}
}
//加密函数
void jiami()
{
str_read_len = strlen(str_read); //从参数表示的地址往后找，找到第一个'\0'，即串尾。计算'\0'至首地址的“距离”，即隔了几个字符，从而得出长度。
printf("密文是：");
for (int i = 0; i str_read_len; i++)
{
int C = 1; int a = str_read[i], b = a % mod;
for (int j = 0; j pubKey; j++) //实现加密
{
C = (C*b) % mod;
}
str_encrypt[i] = C;
printf("%d ", str_encrypt[i]);
}
printf("\n");
}
//解密函数
void jiemi()
{
int i=0; for (i = 0; i str_read_len; i++)
{
int C = 1; int a = str_encrypt[i], b=a%mod;
for (int j = 0; j priKey; j++)
{
C = (C * b) % mod;
}
str_decrypt[i] = C;
}
str_decrypt[i] = '\0'; printf("解密文是：%s \n", str_decrypt);
}
int main()
{
srand(time(NULL));
while (1)
{
prime1 = randPrime(); prime2 = randPrime(); printf("随机产生两个素数：prime1 = %d , prime2 = %d ", prime1, prime2);
mod = prime1 * prime2; printf("模数：mod = prime1 * prime2 = %d \n", mod); if (mod Element_Max) break; // 模数要大于每个加密单元的值
}
eular = (prime1 - 1) * (prime2 - 1); printf("欧拉数：eular=(prime1-1)*(prime2-1) = %d \n", eular);
pubKey = randExponent(); printf("公钥指数：pubKey = %d\n", pubKey);
priKey = inverse(); printf("私钥指数：priKey = %d\n私钥为 (%d, %d)\n", priKey, priKey, mod);
jiami(); jiemi();
return 0;
}
程序修改如下：
（主要是你的循环写的不对，输入的字符应该-'0'才能与正常的数字对应）
#includestdio.h
#includemath.h
int
candp(int
a,int
b,int
c)
{int
r=1;
int
s;
int
i=1;
for(i=1;i=b;i++)r=r*a;
printf("%d\
",r);
s=r%c;
printf("%d\
",s);
return
s;}
void
main()
{
int
p,q,e,d,m,n,t,c,r
;
char
s;
printf("please
input
the
p,q:");
scanf("%d%d",p,q);
n=p*q;
t=(p-1)*(q-1);
printf("the
n
is
%12d\
",n);
printf("please
input
the
e:");
scanf("%d",e);
while(e1||en)
//此处修改为while循环
{
printf("e
is
error,please
input
again:");
scanf("%d",e);
}
d=1;
while(((e*d)%t)!=1)
d++;
printf("then
caculate
out
that
the
d
is
%d\
",d);
printf("the
cipher
please
input
1\
");
printf("the
plain
please
input
2\
");
scanf("%c",s);
while((s-'0')!=1(s-'0')!=2)
//消除后面的getchar()
此处增加while循环注意括号内的字符
{scanf("%c",s);}
switch(s-'0')
{
case
1:printf("intput
the
m:");
scanf("%d",m);
c=candp(m,e,n);
printf("the
plain
is
%d\
",c);break;
case
2:printf("input
the
c:");
scanf("%d",c);
m=candp(c,d,n);
printf("the
cipher
is
%8d\
",m);
break;
}
}
上学期交的作业，已通过老师在运行时间上的测试
#include stdio.h
#include stdlib.h
unsigned long prime1,prime2,ee;
unsigned long *kzojld(unsigned long p,unsigned long q) //扩展欧几里得算法求模逆
{
unsigned long i=0,a=1,b=0,c=0,d=1,temp,mid,ni[2];
mid=p;
while(mid!=1)
{
while(pq)
{p=p-q; mid=p;i++;}
a=c*(-1)*i+a;b=d*(-1)*i+b;
temp=a;a=c;c=temp;
temp=b;b=d;d=temp;
temp=p;p=q;q=temp;
i=0;
}
ni[0]=c;ni[1]=d;
return(ni);
}
unsigned long momi(unsigned long a,unsigned long b,unsigned long p) //模幂算法
{
unsigned long c;
c=1;
if(ap) a=a%p;
if(bp) b=b%(p-1);
while(b!=0)
{
while(b%2==0)
{
b=b/2;
a=(a*a)%p;
}
b=b-1;
c=(a*c)%p;
}
return(c);
}
void RSAjiami() //RSA加密函数
{
unsigned long c1,c2;
unsigned long m,n,c;
n=prime1*prime2;
system("cls");
printf("Please input the message：\n");
scanf("%lu",m);getchar();
c=momi(m,ee,n);
printf("The cipher is：%lu",c);
return;
}
void RSAjiemi() //RSA解密函数
{
unsigned long m1,m2,e,d,*ni;
unsigned long c,n,m,o;
o=(prime1-1)*(prime2-1);
n=prime1*prime2;
system("cls");
printf("Please input the cipher：\n");
scanf("%lu",c);getchar();
ni=kzojld(ee,o);
d=ni[0];
m=momi(c,d,n);
printf("The original message is：%lu",m);
return;
}
void main()
{ unsigned long m;
char cho;
printf("Please input the two prime you want to use:\n");
printf("P=");scanf("%lu",prime1);getchar();
printf("Q=");scanf("%lu",prime2);getchar();
printf("E=");scanf("%lu",ee);getchar();
if(prime1prime2)
{m=prime1;prime1=prime2;prime2=m;}
while(1)
{
system("cls");
printf("\t*******RSA密码系统*******\n");
printf("Please select what do you want to do:\n");
printf("1.Encrpt.\n");
printf("2.Decrpt.\n");
printf("3.Exit.\n");
printf("Your choice:");
scanf("%c",cho);getchar();
switch(cho)
{ case '1':RSAjiami();break;
case '2':RSAjiemi();break;
case '3':exit(0);
default:printf("Error input.\n");break;
}
getchar();
}
}
RSA算法它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字
命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard
Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。
一、RSA算法 :
首先, 找出三个数, p, q, r,
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数
p, q, r 这三个数便是 private key
接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了
再来, 计算 n = pq
m, n 这两个数便是 public key
编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a n
如果 a = n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s = n, 通常取 s = 2^t),
则每一位数均小於 n, 然後分段编码
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 = b n),
b 就是编码後的资料
解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 = c pq),
於是乎, 解码完毕 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)
如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r
所以, 他必须先对 n 作质因数分解
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
使第三者作因数分解时发生困难
定理
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
则 c == a mod pq
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的
证明
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z = xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) = a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) = a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 = pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
= a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
= q | c - a
因 p | a
= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
= p | c - a
所以, pq | c - a = c == a mod pq
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
= pq | c - a
= c == a mod pq
Q.E.D.
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)
但我们在做编码解码时, 限制 0 = a n, 0 = c n,
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能
二、RSA 的安全性
RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解
RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA
的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n
必须选大一些，因具体适用情况而定。
三、RSA的速度
由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。
四、RSA的选择密文攻击
RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：
( XM )^d = X^d *M^d mod n
前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公
钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用
One-Way HashFunction 对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。
五、RSA的公共模数攻击
若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：
C1 = P^e1 mod n
C2 = P^e2 mod n
密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。
因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：
r * e1 + s * e2 = 1
假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则
( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n
另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。
RSA的小指数攻击。 有一种提高 RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有
所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。
RSA算法是
第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人
们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA
的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能
如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。
RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600
bits
以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目
前，SET( Secure Electronic Transaction )协议中要求CA采用比特长的密钥，其他实体使用比特的密钥。
C语言实现
#include stdio.h
int candp(int a,int b,int c)
{ int r=1;
b=b+1;
while(b!=1)
{
r=r*a;
r=r%c;
b--;
}
printf("%d\n",r);
return r;
}
void main()
{
int p,q,e,d,m,n,t,c,r;
char s;
printf("please input the p,q: ");
scanf("%d%d",p,q);
n=p*q;
printf("the n is %3d\n",n);
t=(p-1)*(q-1);
printf("the t is %3d\n",t);
printf("please input the e: ");
scanf("%d",e);
if(e1||et)
{
printf("e is error,please input again: ");
scanf("%d",e);
}
d=1;
while(((e*d)%t)!=1) d++;
printf("then caculate out that the d is %d\n",d);
printf("the cipher please input 1\n");
printf("the plain please input 2\n");
scanf("%d",r);
switch(r)
{
case 1: printf("input the m: "); /*输入要加密的明文数字*/
scanf("%d",m);
c=candp(m,e,n);
printf("the cipher is %d\n",c);break;
case 2: printf("input the c: "); /*输入要解密的密文数字*/
scanf("%d",c);
m=candp(c,d,n);
printf("the cipher is %d\n",m);break;
}
getch();
}
