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早在1958 年，美国心理学家 Frank Rosenblatt 就提出了第一个可以自动学习权重的神经元模型，称为感知机。它的模型如下：
从图中可以看出，他使用的是一个简单的一层网络，其中激活函数是阶跃函数（这也是最早使用的激活函数）。
于是这个感知机模型的公式可表示为：
其中的激活函数可表示为：
也就是说，当wx+b<0时，令输出为0，代表类别0；当wx+b>=0时，令输出为1，代表类别1。然后通过感知机收敛算法一步步迭代，优化参数w和b，最终实现了最原始的二分类模型。
于是有些同学会问，为什么不是用梯度下降算法呢？？
对，熟悉人工智能历史的同学肯定知道，那时候反向传播算法都还没有提出，肯定不会有梯度下降的说法。那为什么聪明的 Frank没有想到梯度下降呢？其实这里有一个不可抗力的原因。而这个原因和激活函数密切相关！
在当时，最常用的激活函数不外乎：阶跃函数和符号函数，我们来直观地看一下它们的函数图：
左边是阶跃函数，右边是符号函数。这两个函数有一个共通的特点：在 z=0处是不连续的，其他位置导数为 0，这就使得无法利用梯度下降算法进行参数优化。
注：梯度都为0了，梯度下降自然就无效了，这也是后面要说到的梯度弥散现象
感知机模型的不可导特性严重约束了它的潜力，使得它只能解决极其简单的任务。所以现代深度学习，在感知机的基础上，将不连续的阶跃激活函数换成了其它平滑连续激活函数，使得模型具有可导性。
实际上，现代大规模深度学习的核心结构与感知机并没有多大差别，只是通过堆叠多层网络层来增强网络的表达能力。
那么，下面将主要介绍现在最常用的一些平滑连续激活函数
Sigmoid 函数也叫 Logistic 函数，定义为：
Sigmoid 函数连续可导，如下图所示，相对于阶跃函数，可以直接利用梯度下降算法优
化网络参数，应用的非常广泛。
作为激活函数，将输入映射到0~1，因此可以通过 Sigmoid 函数将输出转译为概率输出，常用于表示分类问题的事件概率。
对S(x)求导：
导数性质：在输入x=0时，导数最大为0.25；当输入为正负无穷时，梯度趋于0，会发生梯度弥散。
优点：平滑、易于求导
缺点：指数级计算，计算量大；容易出现梯度弥散的情况。
Tanh函数定义为：
可以看到 tanh 激活函数可通过 Sigmoid 函数缩放平移后实现，函数曲线如下图:：
Tanh 函数能够将输入x映射到[−1,1]区间。是Sigmoid函数的改进版，输出有正有负，是以0为中心的对称函数，收敛速度快，不容易出现loss值震荡。但是无法解决梯度弥散问题，同时计算量也大。
在 ReLU(REctified Linear Unit，修正线性单元)激活函数提出之前，Sigmoid 函数通常是神经网络的激活函数首选。但是 Sigmoid 函数在输入值较大或较小时容易出现梯度值接近于 0 的现象，称为梯度弥散现象，网络参数长时间得不到更新，很难训练较深层次的网络模型。2012 年提出的 8 层 AlexNet 采用了一种名叫 ReLU 的激活函数，使得网络层数达
到了 8 层。ReLU 函数定义为：
ReLU(x) = max(0, x)
ReLU 对小于 0 的值全部抑制为 0；对于正数则直接输出，这种单边抑制特性来源于生物学。其函数曲线如下：
优点：(1)使训练快速收敛，解决了梯度弥散。在信息传递的过程中，大于0的部分梯度总是为1。(2)稀疏性：模拟神经元的激活率是很低的这一特性；ReLU的输入在大于0时才能传播信息，正是这样的稀疏性提高了网络的性能。
缺点：在输入小于0的时候i，即使有很大的梯度传播过来也会戛然而止。
ReLU 函数的设计源自神经科学，计算十分简单，同时有着优良的梯度特性，在大量的深度学习应用中被验证非常有效，是应用最广泛的激活函数之一。
ReLU 函数在输入x < 0时梯度值恒为 0，也可能会造成梯度弥散现象，为了克服这个问题，提出了Leaky ReLU，定义如下：
其中p为用户自行设置的某较小数值的超参数，如 0.02 等。当p = 0时，LeayReLU 函数退
化为 ReLU 函数。当p ≠ 0时，x < 0能够获得较小的梯度值，从而避免了梯度弥散。
函数曲线如下：
Softmax 函数定义：
Softmax 函数不仅可以将输出值映射到[0,1]区间，还满足所有的输出值之和为 1 的特性。
如下图的例子，输出层的输出为[2.,1.,0.1]，经过 Softmax 函数计算后，得到输出为[0.7,0.2,0.1]，可以看到每个值代表了当前样本属于每个类别的概率，概率值之和为 1。通
过 Softmax 函数可以将输出层的输出转译为类别概率，在多分类问题中使用的非常频繁。
另外，在softmax函数多分类问题中，若损失函数选用交叉熵，则下降梯度计算起来将会非常方便，使得网络训练过程中的迭代计算复杂度大大降低。
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