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在金融工程中，要把问题放到风险和收益两个坐标轴组成的坐标系中进行考虑。
波动率作为衡量金融资产价格波动程度的一个指标，反映出了资产收益的不确定性以及风险水平。
投资回报率
回报率较为宽泛，比如财报中常见的投资回报率(Retrun On Investment ROI)就是其中一种，而投资回报率顾名思义就是投资的增量，也就是净回报(net return)：
$$Return = \frac{Value_f - Value_i}{Value_i}$$
$Return$ 为投资回报率， $Value_f$ 为期末资产额，$Value_i$ 为期初投资额
损益
只考虑工作日情形，$t$ 时刻股价为 $S_t$， $t-i$ 时刻股价为 $S_{t-i}$，当已知$t$时刻与$t-1$时刻股价，就可以计算出损益(Profit and Loss, PnL, P&L):
$$PnL_t = S_t - S_{t-1}$$
显然，当 $PnL_t > 0$，投资者会在 $t$ 时刻买入，$t-i$ 时刻卖出
简单回报率 在不考虑分红的情况下
单日简单回报率有： $$r_t = \frac{S_t - S_{t-1}}{S_{t-1}}$$
多日简单回报率有： $$r_t = \frac{S_t - S_{t-k}}{S_{t-k}}$$ $k$ 为5时表示周简单回报率，$k$ 为10 时为双周简单回报率， $k$ 为20时表示月简单回报率
对数回报率
$$r_t = ln \frac{S_t}{S_{t-1}} = lnS_t-lnS_{t-1}$$ 对数回报率实质上是连续回报率，它在数学建模中更为常见，因为更加稳定
实例
import numpy as np import pandas_datareader # 获取亚马逊2021年12月21日至2021年12月28日的股票价格数据 ticker = 'AMZN' stock = pandas_datareader.data.DataReader(ticker, data_source="yahoo", start="12-21-2021", end="12-28-2021")["Adj Close"] print(stock) # 计算ROI returns_daily = (stock / stock.shift(1)) - 1 print(returns_daily) # 计算日简单回报率 returns_daily = stock.pct_change() print(returns_daily) # 计算对数回报率 log_return_daily = np.log(stock / stock.shift(1)) print(log_return_daily)
累计回报率
为了计算投资总回报，经常要使用到累计回报率(cumulative return) ，python中可以利用cumprod函数实现
可以看到，2020年收到新冠疫情影响，股价受挫严重
源码
import pandas_datareader
import matplotlib.pyplot as plt
# sp500 price
sp500 = pandas_datareader.data.DataReader(['sp500'], data_source='fred', start='09-11-2012', end='09-11-2022')
# plot sp500 price
plt.plot(sp500['sp500'], color='dodgerblue')
plt.title('S&P 500 price')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Price')
plt.gca().spines['right'].set_visible(False)
plt.gca().spines['top'].set_visible(False)
plt.gca().yaxis.set_ticks_position('left')
plt.gca().xaxis.set_ticks_position('bottom')分红收益率 当考虑到分红的时候，有股票回报率为： $$y_t = \frac{S_t-S_{t-1}+D_t}{S_{t-1}}$$ 其中 D 为分红收益率，而在回报率已知，可以计算出投资损益为： $$Q_t = A_t\frac{S_t-S_{t-1}}{S_{t-1}}$$
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