图解四种常见背包问题及优化方式-创新互联

背包分类

每件/种物品体积Vi
不超过背包容量的总价值大化W（不一定装满）

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01 背包：每件物品最多只用一次
完全背包：每件物品无限个
多重背包：每件物品有限ai个
分组背包：从每组选择一个

01背包与动态规划思路在这里插入图片描述

代码实现（二维朴素法）

在这里插入图片描述

#include#include
using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];//默认初始为0
int dp[N][N];

int main() {	cin >>n >>m;
	for (int i = 1; i<=n; i++) cin >>v[i] >>w[i];

	for(int i = 1; i<=n; i++) 
		for(int j = 0; j<=m; j++) {	dp[i][j] = dp[i-1][j];
			if(j>=v[i]) dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
		}
	cout<

代码实现（滚动数组，转态压缩）
#include#include

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int dp[N];

int main() {cin>>n>>m;
	for (int i = 1; i<= n; i++) cin>>v[i]>>w[i];
	
	for(int i = 1; i<= n; i++)
	    for(int j = m; j >= v[i]; j--) {	//这里空集部分判断直接挪到循环里面
	    	//不用推导，直接继承上一层
	    	dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
		}
	cout<
完全背包与数列推导优化
最朴素的思路起点
代码实现（显然会超时，1000三次方过亿次了，C++的 1s 大体运行一亿次）
#include#include

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main() {cin >>n >>m;
    for(int i = 1; i<= n; i++) cin >>v[i] >>w[i];
    
    for(int i = 1; i<= n; i++) 
       for(int j = 0; j<= m; j++) 
          for(int k = 0; k*v[i]<= j; k++)
              f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
    cout<< f[n][m]<
DP常见的数列推导优化推导递推公式，常减去一项来观察规律实现降维。
#include#include

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main() {cin >>n >>m;
    for(int i = 1; i<= n; i++) cin >>v[i] >>w[i];
    
    for(int i = 1; i<= n; i++) 
       for(int j = 0; j<= m; j++) {   f[i][j] = f[i-1][j];
           if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
       }
           
    cout<< f[n][m]<
状态压缩区分 01背包(全上层) 和 完全背包(本层+上层) 的遍历顺序。
#include#include

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main() {cin >>n >>m;
    for(int i = 1; i<= n; i++) cin >>v[i] >>w[i];
    
    for(int i = 1; i<= n; i++) 
       for(int j = v[i]; j<= m; j++) {   f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
       }
           
    cout<< f[m]<
多重背包与二进制枚举优化
最朴素的思路起点（如果数据过大和完全背包一样超时）
#include#include

using namespace std;

const int N = 110;

int n,m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];

int main() {cin >>n >>m;
    for(int i = 1; i<= n; i++) cin >>v[i] >>w[i] >>s[i];
    
    for(int i = 1; i<= n; i++)
       for(int j = 0; j<= m; j++) 
          for(int k = 0; k*v[i]<= j && k<= s[i]; k++) {  f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
          }
    cout<< f[n][m]<
二进制枚举优化比如要枚举0->1023中所有的数能不能凑成其中任意一个数
我们平常的枚举方法就是：0,1,2,3,4,5,…,1023。这样枚举1024次
使用二进制枚举优化，就可以只需枚举10次就可以枚举出任意一个数。
将0~1023这1024个数分为10个组，
每组分别是：1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 这10个数字(2^0 2^1 2^2 … 2^9)。
在枚举的时候只枚举这10个数字，选或不选。就可以枚举出0~1023中的任意一个数字




二进制枚举优化代码实现
#include#include

using namespace std;

const int N = 25000;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main() {cin >>n >>m;
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i<= n; i++) {int a,b,s;
        cin >>a >>b >>s;
        int k = 1;
        while(k<= s) {cnt++;
            v[cnt] = a*k;
            w[cnt] = b*k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        if(s >0) {cnt++;
            v[cnt] = a*s;
            w[cnt] = b*s;
        }
    }
    n = cnt;
    for(int i = 1; i<= n; i++) 
       for(int j = m; j >= v[i]; j--)
          f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);
          
    cout<< f[m]<< endl;
    return 0;
}
分组背包与状态压缩总结
和01背包特别像，不过多一个组内选择
状态压缩以及遍历顺序的总结只要是上一层推导的，则从后往前
如果是同层推导的，则从前往后
只要是由上层某个方向定向推来的，就可以进行状态压缩
代码实现#include#include

using namespace std;

const int N = 110;

int v[N][N],w[N][N],s[N];
int f[N];
int n,m;

int main() {cin >>n >>m;
    for(int i = 1; i<= n; i++) {cin >>s[i];
        for(int j = 1; j<= s[i]; j++) {cin >>v[i][j] >>w[i][j];
        }
    }
    
    for(int i = 1; i<= n; i++) 
       for(int j = m; j >= 0; j--)
           for(int k = 1; k<= s[i]; k++)
              if(j >= v[i][k]) f[j] = max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
    cout<< f[m]<< endl;
    return 0;
}
                
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            名称栏目：图解四种常见背包问题及优化方式-创新互联            

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